ｔ分布表って何？
使えたらいいことあるの？
ｔ分布表の使い方や、使いどころが分からずに悩んでいませんか？
本記事では、ｔ分布表とは？というところから始めて、
ｔ分布表をスラスラと読めるようにするために、見方を徹底解説します。
ｔ分布表とは？
ｔ分布表をグラフと図でイメージ
ことばで説明するよりも、図でイメージする方がわかりやすいので、
ｔ分布表を見てみましょう。
ｔ分布表には、グラフと表がセットでえがかれています。
グラフだけ、あるいは、表だけだと、何も読み取ることができません。
必ず、両方を見る必要があります。
ｔ分布表を読み解くには、ｔ分布表に何が書かれているか
知らなければなりません。
書かれていることが分からないのに、読み解けるわけはありませんからね…
ｔ分布表に書かれていること
ｔ分布表には３つの情報が書かれています。
- 確率
- 自由度
- ｔ値
それぞれ、ｔ分布表の中には、以下の部分に書かれています。
確率、自由度、ｔ値の書かれている場所は、
- 確率…グラフの中の斜線と、表の横の見出し
- 自由度…表の縦の見出し
- ｔ値…グラフの横軸と、表の中の計算結果
確率とｔ値は、グラフの中と、表の中に書かれており、グラフと数値が対応しています。
自由度は表の中だけ？
グラフの中にはないの？
と思われるかもしれません。
じつは、自由度はグラフの形状を決めています。
しかし、ｔ分布表を読み取るときには、グラフの形状を考える
必要はないので、「表の中に書いてある」とだけ覚えておいて問題ありません。
ｔ分布が使われる場面
ｔ分布表が読めるようになっても、どこで使えるかわからなければ意味がありません。
そのため、ｔ分布がよく使われる場面をご紹介します。
ｔ分布がおもに使われるのは、次の２つです。
- 母分散がわからないときの区間推定
- 母分散がわからないときの仮説検定
母分散とは、「考えている集団全体のばらつきの程度」です。
「区間推定」や「仮説検定」がどういうものであるかは、後ほど具体例を使って解説します。
ｔ分布表が使える場面は、たくさんのデータを取ってきて、データの平均値がどのくらいになりそうか、を推測するときです。
平均値を求めたいということは多いため、ｔ分布表は活躍の場所が多いです。
ｔ分布表の見方の基本
いよいよ、ｔ分布表の見方を学んでいきましょう。
…その前に、ｔ分布表には「上側確率」と「両側確率」の２種類があります。
それぞれで使い方が少し異なるため、違いをおさえてから、
ｔ分布表の使い方をチェックしましょう。
ｔ分布表の種類
さきほどお示ししたように、ｔ分布表には「上側確率」と「両側確率」の２つが存在します。
なぜ２種類あるのかと言うと、作成者の好みが分かれるからです。
「上側確率」と「両側確率」のどちらを用いても計算できますが、
教科書やサイトによってバラバラですので、「上側確率」か「両側確率」かは確かめておきましょう。
さて、「上側確率」と「両側確率」の違いをご説明します。
上側確率とは、グラフの右側の確率を表にしたものです。
上側確率がのっている表では、グラフの右側１％、５％、１０％の値が書いてあります。
対して、両側確率は、グラフの右側と左側の確率を足した値が表に書いてあります。
表の中の１％、５％、１０％という数値は、グラフ両側の斜線部分を足した値です。
２つを使い分けると混乱するので、本記事の以降では、すべて「上側確率」のｔ分布表を使って解説します。
ｔ分布表の読み取り方
「上側確率」のｔ分布表を使って、ｔ分布表の見方を理解していきましょう。
ｔ分布表の見方は非常にシンプルです。
問題を解くときに、確率と自由度がわかりますので、確率と自由度が交差する値を読みます。
たとえば、自由度３、上側確率 0.05 のとき、図を見ると、交差した値が読み取れます。
交差している値を読むと、2.35 となっています。
2.35 という値は、グラフの中のｔの値のことです。(下図)
ｔ分布表を読み取る手順はたったこれだけです。
つまり、「上側確率が 0.05 となる横軸の値は 2.35」と求めるのが、ｔ分布表の使い方になります。
といっても、具体例がないとイメージしにくいです。
そのため、ｔ分布がよく使われる「区間推定」と「仮説検定」の例題を用意しました。
例題を見て、使い方を覚えていきましょう。
ｔ分布表の使用例【区間推定】
10 個の製品の重さをはかったところ、平均値 23g、不偏分散が 3gであった。
製品の母平均(真の平均)を \(\mu\) とすると、
$$T=\frac{23-\mu}{\sqrt{3/10}}$$
は自由度 9 のｔ分布にしたがう。
T の９０％信頼区間を求めよ。
例題のような区間推定の問題は、ｔ分布表を使う練習に最適です。
長々と問題文が書かれていますが、重要な部分は１つだけです。
(中略)
…自由度 9 のｔ分布にしたがう。
T の９０％信頼区間を求めよ。
残りの部分は、問題の状況を理解してもらうために作りました。
自由度９のｔ分布ですので、下図の交差する点を読みます。
なぜ 0.05 の列を読むかというと、上側確率 0.05 のとき、グラフの左側も同様に 0.05 となるので、あわせて 10% になるからです。
よって、T の 90% 信頼区間は、
$$-1.83\leq T\leq 1.83$$
となります。
ｔ分布表の使用例【仮説検定】
10 個の製品の重さをはかったところ、平均値 23g、不偏分散が 3gであった。
製品の母平均(真の平均)を \(\mu\) として、母平均が 20g より大きいか知りたい。
$$T=\frac{23-20}{\sqrt{3/10}}$$
とおくと、T は自由度 9 のｔ分布にしたがう。
有意水準 1%として、T の棄却域を求めよ。
仮説検定の問題では、「母平均が 20g より大きいか」ということを計算で求めることができます。
有意水準 1% ですので、ｔ分布表で自由度 9 と、上側確率 0.01 が交差するところを読み取ります。
交差する値は 2.82 ですので、有意水準 1% の棄却域は、
$$T\geq 2.82$$
ということがわかります。
T が 2.82 よりも大きければ、「母平均が 20g である」という可能性は低いので、「母平均が 20g 以上である」と導くことができます。
まとめ
本記事では、ｔ分布表の使い方を解説しました。
ｔ分布表には、
- 確率
- 自由度
- ｔ値
の３つの情報が書かれています。
ｔ分布表でできることは、確率と自由度を使ってｔ値を求めることです。
ｔ分布表があれば、たくさんのデータの平均値を予測することができます。
「手元にｔ分布表がなくて、いちいち探すのが大変」
という方は、エクセルを使ってｔ分布表を作っておくと良いです。
ｔ分布のグラフの描き方と、ｔ分布表の作り方は下記記事で紹介していますので、ぜひ参考にしてください。
